* ЗАКАЗАТЬ АВТОРСКИЙ РЕФЕРАТ, КУРСОВУЮ ИЛИ ДИПЛОМ*

тел. (495) 728 - 3241; info@troek.net

4. Характеристики потоков платежей
Как уже говорилось, инвестиционные проекты, результаты применения управляющих воздействий к процессам налогообложения и другие экономические реалии описываются потоками платежей и поступлений, т.е. функциями (временными рядами), а сравнивать функции естественно с помощью тех или иных характеристик. Рассмотрим несколько характеристик потоков платежей и поступлений.
4.1. Различные способы расчета срока окупаемости
Срок окупаемости - тот срок, за который доходы покроют расходы. Предполагается, что после этого проект (инвестиционный проект, или проект изменения налоговой системы, в частности, ставок налогов, или же какой-либо иной) приносит только прибыль. Очевидно, это верно не для всех проектов. Потому понятие "срок окупаемости" применяют к тем проектам, в которых за единовременным вложением средств следует ежегодное получение прибыли.
Простейший (и наименее обоснованный) способ расчета срока окупаемости состоит в делении объема вложений А на ожидаемый ежегодный доход В. Тогда срок окупаемости равен А/В. Пусть, например, А - это разовое уменьшение налоговых сборов в результате снижения ставок, а В - ожидаемый ежегодный прирост поступлений в бюджет, обеспеченный расширением налоговой базы в результате ускоренного развития производства.
Этот способ не учитывает дисконтирование. К чему приведет введение в расчет дисконт-фактора? Пусть, как и ранее, объем единовременных вложений равен А, причем начиная с конца первого года проект дает доход В ежегодно (точнее, доход поступает порциями, равными В, с момента, наступающего через год после вложения, и далее с интервалом в год). Если дисконт-фактор равен С, то максимально возможный суммарный доход равен
ВС + ВС2 + ВС3 + ВС4 + ВС5 + ... = ВС ( 1 + С + С2 + С3 + С4 + ... )
В скобках стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии, равная, как известно, величине 1/(1-С). Следовательно, максимально возможный суммарный доход от первого года после вложения до скончания мира равен ВС/(1-С).
Отсюда следует, что если А/В меньше С/(1-С), то можно указать (рассчитать) срок окупаемости проекта, но он будет существенно больше, чем А/В. Если же А/В больше или равно С/(1-С), то проект не окупится никогда. Поскольку максимально возможное значение С равно 0,89, то проект не окупится никогда, если А/В не меньше 0,89/ 0,11 = 8,09.
Пусть вложения равны 1 миллиону рублей, ежегодная прибыль составляет 500 тысяч, т.е. А/В = 2. Пусть дисконт-фактор С = 0.8. Каков срок окупаемости? При примитивном подходе (соответствующем С = 1) он равен 2 годам. А на самом деле?
За k лет будет возвращено
ВС ( 1 + С + С2 + С3 + С4 + ...+ Сk )= ВС ( 1 - Сk+1) / (1-С) ,
согласно формуле для суммы конечной геометрической прогрессии. Для срока окупаемости получаем уравнение
1 =0,5 х 0,8 ( 1 - 0,8 k+1) / (1- 0,8), (4)
откуда 0,5 = ( 1 - 0,8 k+1), или 0,8 k+1 = 0,5. Прологарифмируем обе части последнего уравнения: (k+1) ln 0,8 = ln 0,5 , откуда
(k+1) = ln 0,5 / ln 0,8 = (- 0,693) / ( - 0,223) = 3,11, k = 2,11.
Срок окупаемости оказался в данном примере равном 2,11 лет, т.е. увеличился примерно на 4 недели. Это немного. Однако если В = 0,2, то вместо (3) мы имели бы
1 =0,2 х 0,8 ( 1 - 0,8 k+1) / (1- 0,8),
Это уравнение не имеет решения, поскольку А / В = 5 > С/(1-С) = 0.8 / (1- 0,8) =4, проект не окупится никогда. Окупаемости можно ожидать лишь в случае А/В < 4. Рассмотрим и промежуточный случай, В = 0,33, с "примитивным" сроком окупаемости 3 года. Тогда вместо (4) имеем уравнение
1 =0,33 х 0,8 ( 1 - 0,8 k+1) / (1- 0,8), (5)
откуда 0,76 = ( 1 - 0,8 k+1), или 0,8 k+1 = 0,24. Прологарифмируем обе части последнего уравнения: (k+1) ln 0,8 = ln 0,24 , откуда
(k+1) = ln 0,24 / ln 0,8 = (- 1.427) / ( - 0,223) = 6,40, k = 5,40.
Итак, реальный срок окупаемости - не три года, а согласно уравнению (5) чуть менее пяти с половиной лет.
Если вложения делаются не единовременно или доходы поступают по иной схеме, то расчеты усложняются, но суть дела остается той же.
Таким образом, срок окупаемости зависит от неизвестного дисконт-фактора С или даже от неизвестной дисконт-функции - ибо какие у нас основания считать будущую дисконт-функцию постоянной? Иногда (даже в официальных изданиях [8] !) рекомендуется использовать норму дисконта (дисконт-фактор), соответствующую ПРИЕМЛЕМОЙ для инвестора норме дохода на капитал. Мы не знаем, какую норму дисконта тот или иной инвестор сочтет приемлемой. Однако ясно, что она зависит от ситуации в экономике в целом. То, что представляется выгодным сегодня, может оказаться невыгодным завтра, или наоборот. Тем самым решение перекладывается на инвестора, который выступает в роли эксперта по выбору нормы дисконта.
4.2. Чистый приведенный доход (прибыль)
Не всегда инвестиции сводятся к одномоментному вложению капитала, а возврат происходит равными порциями. Чаще приходится анализировать поток платежей и поступлений общего вида. Будем называть потоком платежей и поступлений последовательность a(0), a(1), a(2), a(3), ... , a(t), .... Если величина a(k) отрицательна, то это платеж, е если она положительна - поступление. В предыдущем пункте был рассмотрен поток с одним платежом a(0) = ( - А) и дальнейшими поступлениями a(1) = a(2) = a(3) = ... = a(t) = .... = В.
Дисконтированную прибыль, точнее, чистый приведенный доход (или эффект, или величину, по-английски - net present value, сокращенно NPV), т.е. разность между доходами и расходами, рассчитывается для потока платежей путем приведения затрат и поступлений к одному моменту времени:
NPV = a(0) + a(1)С(1) + a(2)С(2) + a(3)С(3) + ... + a(t)С(t) + ...(6),
где С(t) - дисконт-функция, определяемая по формулам (2) или (3). В простейшем случае, когда дисконт-фактор не меняется год от года и согласно формуле (1) имеет вид С = 1 / (1+ q), где q - банковский процент, формула для чистой приведенной величины конкретизируется:
NPV = NPV(q) = a(0) + a(1)/ (1+ q) + a(2)/ (1+ q)^2 + a(3)/ (1+ q)^3 + ...+ a(t)/ (1+ q)^t + .... (7)
Пусть, например, a(0) = - 10, a(1) = 3, a(2) = 4, a(3) = 5. Пусть q = 0,12, тогда, как установлено в п.3.3, согласно формуле (2) значения дисконт-функции таковы: С(1) = 0,89, С(2) = 0.80, а С(3) = 0,71. Тогда согласно формуле (6)
NPV(0,12) = - 10 + 3 х 0,89 + 4 х 0.80 + 5 х 0,71 = - 10 + 2,67 + 3,20 + 3,55 = - 0,58.
Таким образом, этот проект является невыгодным для вложения капитала, поскольку NPV(0,12) отрицательно, в то время как при отсутствии дисконтирования (при С = 1, q = 0) вывод иной: NPV(0) = - 10 + 3 + 4 + 5 = 2.
Таким образом, важной проблемой является выбор дисконт-функции. В качестве приближения обычно используют постоянное дисконтирование, хотя экономическая история последних лет показывает, что банки часто меняют проценты платы за депозит, так что формула (3) для дисконт-функции с различными процентами в разные годы более реалистична, чем формула (2).
Часто предлагают использовать норму дисконта, равную приемлемой для инвестора норме дохода на капитал. Это предложение означает, что экономисты явным образом обращаются к инвестору как к эксперту, который должен назвать им некоторое число исходя из своего опыта и интуиции. Кроме того, при этом игнорируется изменение указанной нормы во времени (см. рассуждения в конце п.4.1 выше).
Приведем пример исследования NPV на чувствительность. Для этого надо найти максимально возможное отклонение NPV при допустимых отклонениях значений дисконт-функции (или, если угодно, значений банковских процентов). В качестве примера рассмотрим
NPV = NPV (a(0), a(1), С(1), a(2), С(2), a(3), С(3)) =
= a(0) + a(1)С(1) + a(2)С(2) + a(3)С(3).
Предположим, что изучается устойчивость (чувствительность) в ранее рассмотренной точке параметрического пространства a(0) = - 10, a(1) = 3, a(2) = 4, a(3) = 5 , С(1) = 0,89, С(2) = 0.80, С(3) = 0,71. Предположим, что максимально возможное отклонение величин С(1), С(2), С(3) равно + 0,05. Тогда, как легко видеть, максимально возможное значение NPV равно
NPVmax = - 10 + 3 х 0,94 + 4 х 0.85 + 5 х 0,76 = - 10 + 2,82 + 3,40 + 3,80 = 0,02,
в то время как минимально возможное значение NPV равно
NPVmin = - 10 + 3 х 0,84 + 4 х 0.75 + 5 х 0,66 = - 10 + 2,52 + 3,00 + 3,30 = - 1,18.
Таким образом, для NPV получаем интервал от ( - 1,18) до (+ 0,02). Это ширина достаточно велика. И что более интересно - в интервал входят и положительные, и отрицательные значения. Так что не удается сделать однозначного заключения - будет проект убыточным или выгодным. Есть много подходов к изучению чувствительности экономических величин и основанных на них выводах, которые нет возможности рассмотреть здесь (см. монографию [5]). Обратите, например, внимание на то, что величины a(0), a(1), a(2), a(3) в только что рассмотренном примере изучения чувствительности считались постоянными. А ведь это - упрощение ситуации, трудно предсказать на три года вперед возможность выполнения обязательств.
Что с точки зрения экономической теории означает приравнивание дисконт-функции константе? В монографии [5] показано, что необходимым и достаточным условием, выделяющим модели с постоянным дисконтированием среди всех моделей динамического программирования, является устойчивость результатов сравнения планов на 1 и 2 шага. Другими словами, модели с постоянным дисконтированием игнорируют изменение предпочтений людей, научно-технический прогресс, вообще любые изменения в экономике, вызванные СТЭП-факторами, а потому не могут быть полностью адекватны реальности.
Чистый приведенный доход, очевидно, зависит от общего объема платежей. Как правило, чем проект крупнее, тем эта характеристика проекта больше по абсолютной величине (изменения ставок налога в масштабе страны приносит больший эффект, чем в масштабах региона). При этом при одних значениях нормы дисконта она может быть положительной, а при других - отрицательной. Крайние значения С = 0 (банковский процент крайне высок) и С=1 ( он крайне низок) могут дать эти две возможности.
4.3. Рентабельность
В отличие от (валовой) прибыли, рентабельность - это частное от деления прибыли на расходы. Обозначим доходы как Д, расходы как Р, тогда прибыль П = Д - Р, а рентабельность Ре = Д / Р - 1. Другими словами, рентабельность - это относительная прибыль, она показывает, какой доход приносит 1 руб. вложений.
Прибыль и рентабельность - два принципиально разных критерия. Максимизация по ним весьма часто приводит к разным результатам. В отличие от прибыли рентабельность выше для небольших проектов, как правило, использующих побочные результаты реализации крупных проектов. Например, организация розничной торговли среди строителей ГЭС опирается на использование дорог и наличие потребительского спроса. И то, и другое - результаты реализации проекта строительства ГЭС. При этом рентабельность торгового проекта, очевидно, во много раз выше рентабельности строительства ГЭС, что, например, должно учитываться при налогообложении.
Замечания в предыдущем пункте, касающиеся дисконт-функции и нормы дисконта, справедливы и для такой характеристики налогового или инвестиционного проекта, как рентабельность.
4.4. Внутренняя норма доходности
Неопределенности, связанной с произволом в выборе нормы дисконта инвестором, можно избежать, рассчитав так называемую. внутреннюю норму доходности (или прибыли, по-английски Internal Rate of Return, сокращенно IRR), т.е. то значение дисконт-фактора, при котором чистый приведенный доход оказывается равным 0. Ожидается, что при меньшем значении дисконт-фактора прибыль положительна, а при большем - отрицательна. К сожалению, такая интерпретация не всегда допустима, поскольку для некоторой совокупности потоков платежей чистый приведенный доход равен 0 не для одного значения дисконт-фактора, а для многих (см. об этом, например, монографии [3,4]). Однако традиционная интерпретация корректна в подавляющем большинстве реальных ситуаций, в частности, если платежи всегда предшествуют поступлениям. Поэтому многие экономисты считают наиболее целесообразным использование внутренней нормы доходности как основной характеристики при сравнении потоков платежей.
Внутреннюю норму доходности для рентабельности можно было бы определить из условия равенства 0 рентабельности как функции от нормы дисконта. Однако это условие означает, что доходы и расходы равны, т.е. прибыль равна 0. Поэтому внутренние нормы доходности для прибыли и рентабельности совпадают.
4.5. Проблема горизонта планирования
Выше рассмотрен ряд характеристик налоговых и инвестиционных проектов. Этот перечень можно существенно расширить. Например, комбинируя прибыль и рентабельность, можно строить характеристику, которая была бы пригодна для сравнения как малых, так и больших проектов.
Во многих ситуациях продолжительность проекта не определена объективно (типичная ситуация для инноваций налоговой системы) либо горизонт планирования инвестора не охватывает всю продолжительность реализации проекта до этапа утилизации. В таких случаях важно изучить влияние горизонта планирования на принимаемые решения.
Рассмотрим условный пример (подробнее см. [5]). Предположим, я получил в наследство свечной заводик в Самаре. Если горизонт моего планирования - один месяц, то наибольший денежный доход я получу, продав предприятие. Если же планирую на год, то я сначала понесу затраты, закупив сырье и оплатив труд рабочих, и только затем, продав продукцию, получу прибыль. Если я планирую на десять лет, то пойду на крупные затраты, закупив лицензии и новое оборудование, с целью увеличения дохода в дальнейшие годы. При планировании на тридцать лет имеет смысл вложить средства в создание и развитие собственного научно-исследовательского центра, и т.д.
Таким образом, популярное утверждение "фирма работает ради максимизации прибыли" не имеет точного смысла. За какой период максимизировать прибыль - за месяц, год, десять или тридцать лет? От горизонта планирования зависят принимаемые решения. Понимая это, ряд западных экономистов отказываются рассматривать фирмы как инструменты для извлечения прибыли, предпочитают рассматривать их как живые существа, старающиеся обеспечить свое существование и развитие. Речь идет об известной на Западе гипотезе Гэлбрейта-Баумола-Марриса (Galbraith-Baumol-Marris), в соответствии с которой в основе поведения корпораций лежит стремление к "максимальному росту", а не к "максимальной прибыли" [9, с.403].
Подробнее проблемы устойчивости принимаемых решений к изменению горизонта планирования рассматриваются в монографии [5].

Назад / Дальше

* ЗАКАЗАТЬ АВТОРСКИЙ РЕФЕРАТ, КУРСОВУЮ ИЛИ ДИПЛОМ*

тел. (495) 728 - 3241; info@troek.net